Montrons que : $\quad \lim\limits _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)$
On a:

$\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1}\cfrac{x^{3}-1}{x-1}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \cfrac{x^{3}-1^{3}}{x-1} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \cfrac{\cancel{(x-1)}\left(x^{2}+x+1\right)}{\cancel{x-1}}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} x^{2}+x+1=$ $1^{2}+1+1=3=$ $f(1)$

Donc $f$ est continue an point $x_{0}=1$
Rappel : $$ a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) $$

Montrons que : $\quad \lim\limits _{x \rightarrow 0} g(x)=g(0)$
On a:

$\lim\limits _{x \rightarrow 0} g(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+x}^{2}-1^{2}}{x(\sqrt{1+x}+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cancel{1}+x\cancel{-1}}{x(\sqrt{1+x}+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{1+x}+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}=$ $\dfrac{1}{\sqrt{1+0}+1}=$ $\dfrac{1}{2}=$ $g(0)$

Donc $g$ est continue an point $x_{0}=0$

Montrons que : $\quad \lim\limits _{x \rightarrow 0} h(x)=h(3)$
On a:

$\lim\limits _{x \rightarrow 3} h(x)=\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{x^{2}-4 x+3}{x-3}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 3} \dfrac{\cancel{(x-3)}(x-1)}{\cancel{x-3}}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 3} x-1=$ $2=$ $h(3)$

Donc $h$ est continue an point $x_{0}=3$

Montrons que $\quad \lim\limits _{x \rightarrow 1} k(x)=k(1)$
On a:

$\lim\limits _{x \rightarrow 1} k(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{x^{2}-3 x+2}{\sqrt{x^{2}+3}-2}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+3}+2\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+3}-2\right)\left(\sqrt{x^{2}+3}+2\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{\cancel{(x-1)}(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+3}+2\right)}{\cancel{(x-1)}(x+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+3}+2\right)}{x+1}=$ $-2=$ $k(1)$

Donc $k$ est continue an point $x_{0}=1$

Montrons que : $ \lim\limits _{x \rightarrow 1} u(x)=u(1)$
On a :

$\lim\limits _{x \rightarrow 1} u(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{3 x^{3}-5 x^{2}-x+3}{2 x^{3}-5 x+3}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{\cancel{(x-1)}\left(3 x^{2}-2 x-3\right)}{\cancel{(x-1)}\left(2 x^{2}+2 x-3\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{3 x^{2}-2 x-3}{2 x^{2}+2 x-3}=$ $-2=$ $u(1)$

Donc $u$ est continue an point $x_{0}=1$

1. Déterminons $D_f$

$x \in D_f $ $\Longleftrightarrow\left(x^{2}-x-6 \neq 0\right.$ et $\left.x \neq-2 \right)$ ou $x=-2$

Soit le trinôme: $x^{2}-x-6$ Son discriminant est: $\Delta=b^{2}-4ac=25$
on a : $\Delta>0$, Donc le trinôme admet deux racine $x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$   et   $x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$   $\Longrightarrow$   $x_{1}=-2$ et $x_{2}=3$
Donc, on aura :

$x \in D_f$ $\Longleftrightarrow$ $(x \neq -2 $ et $x \neq 3$ et $x \neq -2)$ ou $x=-2$ $\Longleftrightarrow$ $(x \neq-2$ et $x \neq 3)$ ou $x=-2$ $\Longleftrightarrow$ $x \neq 3$

D'où :

$ D_{f}=\mathbb{R} \backslash\{3\}=$ $]-\infty ; 3[\cup] 3;+\infty[$

2. il suffit de vérifier que : $\lim\limits _{x \rightarrow-2} f(x)=f(-2)$

$\lim\limits _{x \rightarrow-2} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow-2} \dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-x-6}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow-2} \dfrac{\cancel{(x+2)}(x-1)}{\cancel{(x+2)}(x-3)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow-2} \dfrac{x-1}{x-3}=$ $\dfrac{-2-1}{-2-3}=$ $\dfrac{3}{5}=$ $f(-2)$

Donc $f$ est continue au point $x_{0}=-2$

1. Calculons : $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)$

$\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} x-\dfrac{2}{x}=$ $+\infty$ $\left( \text{car} \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{2}{x} = 0 \right)$

- Calculons : $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)$

$\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{2 x^{2}-x-1}{1-x^{3}}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{2 x^{2}}{-x^{3}} = $ $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}-\dfrac{2}{x}=0$

- Calculons : $f(1)$

On a : $f(1)=1-\dfrac{2}{1}=-1$

2. la continuté de $f$ en $x_{0}=1$
- la continuté de $f$ en $x_{0}=1$ à gauche (vérifions que $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1)$)
On a :

$\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \dfrac{2 x^{2}-x-1}{1-x^{3}}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \dfrac{(x-1)(2 x+1)}{(1-x)\left(1+x+x^{2}\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \dfrac{-(2 x+1)}{1+x+x^{2}}=$ $\dfrac{-3}{3}=-1=f(1)$

Donc $f$ est continue en $x_{0}=1$ à gauche
- la continuté de $f$ en $x_{0}=1$ à droite (vérifions que $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)$)
On a :

$\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} x-\dfrac{2}{x}=$ $1-\dfrac{2}{1}=-1=f(2)$

Donc $f$ est continue en $x_{0}=1$ à droite
en déduire que $f$ est continue en $x_{0}=1$

1. Déterminons $D_f$
Notons:

$ \left\{\begin{array}{l} f_{1}(x)=f(x) \;;\; x \lt 2 \\[2 mm] f_{2}(x)=f(x) \;;\; x \gt 2 \end{array}\right. $

(Ici, $f$ est définie par deux formules et l'image de 2)
2 est donc forcement appartient à $D_{f}$
On aura donc:

$D_{f}=D_{f_{1}} \cup D_{f_{2}} \cup\{2\}$

Donc, il faut déterminer $D_{f_{1}}$ et $D_{f_{2}}$

$x \in D_{f_{1}} \Longleftrightarrow x^{2}-x-2 \neq 0$ et $x \lt 2$

On considère le trinôme: $x^{2}-x-2$ Son discriminant: $\Delta=b^{2}-4 a c=9$
Donc le trinôme: $x^{2}-x-2$ possède deux racines distinctes: $x_{1}=2$ et $x_{2}=-1$
Donc, on aura:

$x \in D_{f_{1}} \Longleftrightarrow x \neq-1$ et $x \neq 2$ et $x \lt 2$ $\Longleftrightarrow$ $x \in \biggl(]-\infty ;-1[$ $\cup $ $]-1 ;+\infty[\biggr)$ $\cap$ $\biggl(]-\infty ; 2[$ $\cup$ $] 2 ;+\infty[\biggr)$ $\cap$ $\biggl(]-\infty ;2[\biggr)$ $\Longleftrightarrow x \in]-\infty ;-1[\cup]-1 ; 2[$ $\Longleftrightarrow x \in]-\infty ;-1[\cup]-1 ;2[$ Donc: $\left.D_{f_{1}}=\right]-\infty ;-1[\cup]-1 ; 2[$

On a :

$ x \in D_{f_{2}}$ $\Longleftrightarrow$ $x^{2}+5 \geqslant 0$ et $x+2 \geqslant 0$ et $\sqrt{x+2}-2 \neq 0$ et $x \gt 2$ $\Longleftrightarrow$ $x^{2} \geqslant-5$ (toujour vrai) et $x \geqslant-2$ et $\sqrt{x+2} \neq 2$ et $x \gt 2$ $\Longleftrightarrow x \in \mathbb{R}$ et $x \geqslant-2$ et $x+2 \neq 4$ et $x>2$ $\Longleftrightarrow$ $x \geqslant-2$ et $x \neq 2$ et $x \gt 2$ $\Longleftrightarrow$ $x \gt 2$

Donc: $\left.D_{f_{2}}=\right]2 ;+\infty[$
Et :

$D_{f}=$ $D_{f_{1}} \cup D_{f_{2}}\cup\{2\} =$ $]-\infty ;-1[\cup]-1 ; 2[\cup]2 ;+\infty[\cup\{2\}=$ $]-\infty ;-1[\cup]-1 ;+\infty[$

2. la continuité de $f$ en $x_{0}=2$
- la continuité de $f$ en $x_{0}=2$ à gauche( vérifions si $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)$)
On a:

$\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{3 x^{2}-4 x-4}{x^{2}-x-2}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{(x-2)(3 x+2)}{(x-2)(x+1)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{3 x+2}{x+1}=\dfrac{8}{3}=f(2)$

On a bien $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)$
Donc $f$ est continue en $x_{0}=2$ à gauche
- la continuité de $f$ en $x_{0}=2$ à droite( vérifions si $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=f(2)$)
On a:

$ \lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{\sqrt{x+2}-2} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+5}-3\right)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+5}-3^{2}\right)(\sqrt{x+2}+2)}{\left(\sqrt{x+2}^{2}-2^{2}\right)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)} =$ $ \lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{x^{2}+5-9}{x+2-4}$ $\times$ $\dfrac{(\sqrt{x+2}+2)}{\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} $ $\times$ $ \dfrac{(\sqrt{x+2}+2)}{\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{x-2}}$ $\times$ $\dfrac{(\sqrt{x+2}+2)}{\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}}(x+2)$ $\times$ $\dfrac{(\sqrt{x+2}+2)}{\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)} =$ $4 \times \dfrac{4}{6} =$ $\dfrac{8}{3}=f(2)$

On a bien : $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=f(2)$
Donc $f$ est continue en $x_{0}=2$ à droite
On déduit que $f$ est continue en $x_{0}=2$

1. On a :

$\lim\limits _{x \rightarrow -\infty} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{5+x^2}+a =$ $ +\infty$

Car :

$ \lim\limits _{x \rightarrow -\infty} 5+x^2=+\infty$ $\Longrightarrow$ $\lim\limits _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{5+x^2}=+\infty$

2. Vérifions que :$\lim\limits _{x \rightarrow {2}^+} f(x)=1$
On a :

$\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{7 x^{2}-16 x+4}{x^{3}-8}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{7 x^{2}-16 x+4}{x^{3}-2^{3}}$ $=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{(x-2)(7 x-2)}{(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}$ $=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{7 x-2}{x^{2}+2 x+4}=1$

Car :

$7 x^{2}-16 x+4 = (x-2)(7 x-2)$ utilisé la division euclidienne

3. Déterminons le valeur de a pour laquelle $f$ est continue en 2

$f$ est continue en 2 $\Longleftrightarrow$ $\lim\limits _{x \rightarrow {2}^+} f(x)=$ $\lim\limits _{x \rightarrow {2}^-} f(x)=f(2)$

On a :

$f(2)=\sqrt{5+2^2}+a=3+a$   et   $\lim\limits _{x \rightarrow {2}^+} f(x)=1$

Donc :

$1=3+a \Longrightarrow a=2$

1. $f$ est continue en 0 si et seulement si $ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=$ $f(0)$
- Calculons $ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$

$ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}-1}{x^{2}} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}-1\right)\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}-1\right)}{x^{2}\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}+1\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}-1^{2}}{x^{2}\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}+1\right)}=$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1+\sin ^{2}(x)-1}{x^{2}\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}+1\right)} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\sin ^{2}(x)}{x^{2}} \times \dfrac{1}{\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}+1\right)} =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\dfrac{\sin (x)}{x}\right)^{2} \times \dfrac{1}{\left(\sqrt{1+\sin ^{2}(x)}+1\right)}=$ $1 \times \dfrac{1}{2} =$ $\dfrac{1}{2}$

car :

$ \lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{sin(ax)}{ax} =1$

- Calculons $ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$

$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{\cos (x)-1}{x}+a =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}-\dfrac{1-\cos (x)}{x \times x} \times x+a =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}-\dfrac{1-\cos (x)}{x^{2}} \times x+a =$ $-\dfrac{1}{2} \times 0+a=a$

Car : $ \lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-cos(ax)}{(ax)^2} =\dfrac{1}{2}$
- Calculons $f(0)$
On a : $f(0)=b$
$f$ est continue en 0 si et seulement si $ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) =$ $\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=$ $f(0)$
D'où $a=b=\dfrac{1}{2}$
2. la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$
- Sur l'intervalle $]0;+\infty[$
On a : $x\longmapsto 1+sin^2(x)$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et $\forall x \in ]0;+\infty[ ; 1+sin^2(x) \succeq 0$
Donc $x\longmapsto \sqrt{1+sin^2(x)}$ est continue sur $]0;+\infty[$
et : $x\longmapsto \sqrt{1+sin^2(x)} - 1$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$
et puisque $x \longmapsto x^2$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et $\forall x \in ]0;+\infty[ ; x^2 \neq 0$
Alors : $f: x\longmapsto \dfrac{\sqrt{1+sin^2(x)} - 1}{x^2}$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$
-Sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
On a : $x \longmapsto cos(x)$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
et : $x \longmapsto -1$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
Donc : $x \longmapsto cos(x)-1$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
et puisque : $x \longmapsto x$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$ et que $\forall x \in ]-\infty ; 0[ ; x\neq 0$
Alors : $x\longmapsto \dfrac{cos(x)-1}{x}$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
Donc : $f: x\longmapsto \dfrac{cos(x)-1}{x} + \dfrac{1}{2}$ est continue sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$
et comme $f$ est continue en $x_{0}=0$
Alors : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$